A kör egy olyan fogalom, ami már az előtt előjön gyerekkorunkban, hogy beülnénk az iskolapadba. Gondoljunk csak azokra a pillanatokra, amikor a hullahopp karikával játszottunk az óvoda udvarán, vagy amikor a játékboltban megláttunk egy frizbit. Amikor a család rendelt egy közös pizzát, akkor is felismerhettük ezt a jellegzetes formát. Amikor pedig beülünk az iskolapadba, nem kerülhetjük el, hogy találkozzunk a kör fogalmával a matek órákon.

A cikket a MatekDzsungel csapata írta. Ha szeretnéd, akkor iratkozz be online felkészítő tanfolyamainkra, melyeket direkt általános iskolás diákoknak készítettünk!

A kör meghatározása

A kör azon pontok halmaza a síkon, melyek egy adott ponttól egy meghatározott távolságra helyezkednek el. Szemléljük az alábbi ábrát! Itt a kör középpontja a (0,0) pontba kerül, az adott távolság pedig 2 egység, hiszen az alakzat vonalának minden pontja 2 egységre található az O ponttól.


A kör részei

Jelöljük a kör közppontját O-val. Az alábbi ábrát szemléljük, melyen bemutatjuk a kör részeit.

A kör sugara (r) a kör közppontját és a kör bármely pontját összekötő szakasz. A köznyelvben szokás ennek a szakasznak a hosszát is (r)-el jelölni.

A kör átmérője (d) a kör két átellenes pontját összekötő szakasz. Ennek a hosszát szokás átmérőnek is hívni. Az átmérő hossza mindig duplája a sugár hosszának.

A körív a körvonal tetszőleges hosszúságú szakasza.

A húr a körvonal két tetszőleges pontját összekötő szakasz. Az átmérőnél hosszabb húr nem létezik.

A körszelet egy olyan síkidom, melyet egy húr és egy körív határol.

A szelő olyan egyenes, mely a körvonalat két tetszőleges pontban metszi.

A körlemez a kör középpontjától a sugárhossznál nem nagyobb távolságra levő pontok halmaza.

A körcikk egy síkidom, melyet két sugár és az általuk közrezárt körív határol.

A kör területe

A kör területének kiszámításához egy új számot kell bevezetnünk, melyet eddig nem ismerjünk. Ez a a Pí (π), melynek a közelítő értékét már a görögök is ismerték. Definíciója a körhöz kapcsolható: a az egységnyi sugarú kör kerületének és átmérőjének hányadosa, értéke közelítőleg 3.1416. A helyes képlet az alábbi:

Természetesen lehetséges, hogy a kör sugárhossza éppen nem ismert, hanem csupán annak átmérője. Ez esetben megtehető, hogy közvetlenül az átmérő hosszával számolunk, és nem a sugárhosszal:

A körcikk területe

A körcikk területe egy gyakori eleme a gimnáziumi felvételi feladatsoroknak. Ahhoz, hogy a körcikk területét ki tudjuk számítani, egy nagyon fontos összefüggést kell megértenünk. Egy kör két körcikkéhez tartozó körív hosszának a aránya megegyezik a középponti szögek arányával.

A képletben és a középponti szögeket, és a hozzájuk tartozó köríveket jelöli.

A területekre is hasonló arányosság írható fel, mint a körívek hosszára. Ha ezt képlettel szeretnénk kifejezni, akkor az alábbi összefüggéshez jutnánk:

Egy körcikk területének kiszámításakor mindig praktikus ahhoz a körcikkhez viszonyítani, ami a 2π radiánhoz tartozó területet jelöli. Ez esetben az egyenes arányosság, melyet használhatunk:

a képletben a körcikk középponti szögét jelöli radiánban. Természetesen számolhatunk fokban is, ha így kényelmesebb számunkra:

A körszerelt területe

Már egy picit bonyolultabb feladat egy körszerelt területét meghatározni. Az adott középponti szöghöz tartozó körcikk területéből kell levonni a kör középpontja, és a körcikk húrja által meghatározott háromszög területét. Ha az alábbi ábra jelöléseit használjuk, akkor a képlet:


A kör kerülete

A kör kerületét szintén a korábban bemutatott nevezet szám, a függvényében adhatjuk meg – a legnagyobb különbség, hogy ez esetben az, hogy egyenes arányosság lelhető fel a kerület és a sugár között. A helyes számítási képlet:

Lehetséges, hogy csupán a kör átmérőjét ismerjük. Ez esetben nem szükséges a számításhoz a sugarat megadni, számolhatunk közvetlenül az átmérővel is:

A kör kerületét a területének függvényében is kiszámolhatjuk. Természetesen egy lehetséges módszer, hogy a sugarat vagy átmérőt határozzuk meg, de időt is spórolhatunk, ha az alábbi képlettel számolunk:

Abban az esetben, ha a kerület ismert, annak függvényében akár számítható közvetlenül a terület.

Egy kis gyakorlás

Ha a következő matek dogádon szeretnél jó jegyet kapni, akkor mindenképp hasznos lesz, ha egy picit gyakorolsz is.

1. feladat

Egy kör alakú udvar átmérője 4m. Számoljuk ki, hogy mennyi hely áll a gyerekek rendelkezésére, ha játszani szeretnének?

Megoldás. 

Használjuk az ismert formulát a feladat megoldásához.

=

2. feladat

Egy kör területe 200 négyzetméter. Mennyi a kör kerülete?

Megoldás. 

Ahhoz, hogy a kérdésre válaszolni tudjunk, nem is szükséges meghatározni a kör sugarát. Használjuk az alábbi képletet!

Ezt behelyettesítve adódik, hogy a kör kerülete 50.133 m.

3. Egy pizzázóban kétféle pizza kapható. A 35 cm-es pizzának 2000 Ft az ára, míg a 45 cm-es pizzának 2800 Ft. Melyiket éri meg jobban megvenni?

 

Megoldás. 

Ha meg szeretnénk határozni, hogy a két pizzaféle közül melyiket érdemes megvásárolni, akkor számoljuk ki, hogy melyiknek olcsóbb az ára fajlagosan. Ehhez azt kell megadni, hogy a négyzetcentiméter árak közül melyik a magasabb. Természetesen nem csupán ettől függ az ár-érték arány, hiszen egy kisebb pizzának több a széle is, ami nem annyira finom, de kiindulási alapnak jó ez a számítás. 😊

A 35 cm-es pizzának az ára négyzetcentiméterenként:

Az 45 cm-es pizzának az ára négyzetcentiméterenként:

Összefoglalás

A kör részei, kerület és területszámítása nagyon fontos része az iskolai tananyagnak, és a gimis felvételinek. Szeretnél még több példát látni, vagy igazi gyakorlati tudásra szert tenni? Akkor iratkozz be kifejezetten gyerekek számára készített online felkészítőnkre!