A háromszög terület-és kerületszámítása már bizony általános iskolában is előjön. Nagyon fontos, hogy tisztában legyünk ezzel a témakörrel, hiszen ennek hiányában aligha fogunk jó érdemjegyet kapni matematikából. Hiszen, a későbbiek során is rengeteg olyan feladattal találkozunk majd, ami ehhez a témakörhöz kapcsolódik – például, hogyan lehet kiszámolni kicsit komplexebb síkidomok területét és kerületét? Annak érdekében, hogy a fogalmat tisztán láthassuk, szerettük volna ezt a rövid cikket megírni a háromszög területszámításáróll

A cikket a MatekDzsungel csapata írta. Ha szeretnél, iratkozz be online tanulófelületünkre!

Mi a háromszög?

A háromszög egy olyan geometriai alakzat, melynek három oldala, és három csúcsa van.

Természetesen ennek a sokszögnek is vannak speciális esetei: ilyen például az egyenlő szárú háromszög, egyenlő oldalú háromszög, vagy a derékszögű háromszög. Számunka azért érdekesek ezek a speciális esetek, mert egy speciális háromszög területszámítása könnyebb lehet, mint egy általános háromszög területét kell kiszámolni.

A tetszőleges háromszög területe és kerülete

Először a tetszőleges háromszög területének meghatározását szeretnénk bemutatni. Egy tetőszeges háromszög területét megadhatjuk úgy, hogy az az egyik tetszőleges élhosszát összeszorozzuk az adott oldalhoz tartó magassággal, és az eredményt osztjuk kettővel. A helyes képlet az alábbi:



Egy szintén lehetséges módszer a háromszög területének meghatározására az úgynevezett Hérón-képlet.

A képletben a, b, c értelemszerűen a háromszög oldalait jelölik, míg s a háromszög félkerületét.

Egy szintén lehetséges területszámítási mód az, hogy a háromszöget ábrázoljuk egy derékszögű koordináta-rendszerben. Jelölje a csúcspontok koordinátáit rendre . Ez esetben a háromszög területe az alábbi képlettel számítható ki:

Egy háromszög területe szintén megadható a háromszög köré írt körének, valamint beírt körének a segítségével. A helyes képletek az alábbiak, ha R jelöli a körülírt kör sugarát, r a beírt kör sugarát, míg s a Hérón-képletből ismert félkerületet:


Természetesen vannak olyan számítási módszerek is, amelyek szintén alkalmazhatók, azonban ezek túlmutatnak az általános iskolai tananyagon.

Egy tetszőleges háromszög kerülete úgy számítható ki, hogy összeadjuk az oldalinak a hosszát. Nincs rá speciális számító képlet:

Ezen számítási módszerek mindig alkalmazhatók. Most lássuk a speciális háromszögek területszámítási és kerületszámítási módját – miben egyszerűsödhet mindez?

A derékszögű háromszög területe és kerülete

Egy derékszögű háromszög területszámításakor könnyedén kihasználhatjuk azt a tényt, hogy két oldala merőleges egymásra. Nincs más dolgunk, mint hogy a két merőleges befogóját összeszorozzuk, és hogy az eredményt elosszuk kettővel.

Egy derékszögű háromszög kerületszámításakor kihasználhatjuk azt a tényt, hogy az átfogó hossza megadható a befogók hosszának függvényében. A helyes képlet:



Az egyenlő szárú háromszög területének kiszámítása

Egy egyenlő szárú háromszög területének meghatározásakor könnyedén kihasználhatjuk azt a tényt, hogy a szárak közös csúcspontjából az alapra állított merőleges szakasz felezi az alapot. Így, a magasság is könnyedén kiszámítható Pitagorasz tételével. Szemléljük az alábbi ábrát.

Amennyiben az AB szakasz hosszát a-val jelöljük, az AD és DB szakasz hosszai a/2. Pitagorasz tételéből következik, hogy

azaz


A háromszög területe


Egy egyenlő szárú háromszög kerülete az oldalainak összege. Mivel két oldala egyenlő, ezért az alábbi egyenlőség írható fel:

Az egyenlő oldalú háromszög területének számítása

A szabályos háromszög területe egy speciális számítóképlettel számítható ki:

A kerülete nagyon egyszerűen számítható, hiszen minden oldal hossza egyenlő:

Összefoglalás

A háromszögekkel kapcsolatos számítási képletek közül különösen nagy hangsúlyt kell fektetnünk a speciális háromszögek terület-és kerületszámítására – hiszen a gimis felvételin, és a matematika dolgozatban ezek jönnek elő a legtöbbször.
Szeretnél beiratkozni online tanulófelületünkre, melyek kifejezetten diákok számára készítettünk? Szeretnél valódi gyakorlati tudást szerezni? Akkor kattints!